Lois de Kepler

Soit T la période de révolution, a le demi grand axe de l'orbite et k le rapport de proportionnalité. La troisième loi de Kepler stipule que

ou encore

Calculons k pour la Terre puis pour Jupiter et comparons les résultats :
a_Terre = 150.10⁶ km et T_Terre = 365 jours
On obtient k_Terre = 4,0.10^-20 [jours².km^-3].
a_Jupiter = 780.10⁶ km et T_Jupiter = 4 332 jours
On obtient k_Jupiter = 4,0.10^-20 [jours².km^-2].
On trouve bien k_Terre = k_Jupiter.

La force de gravitation s'appliquant sur la planète est centrale : elle est toujours dirigée vers le même point : le Soleil. Le moment de cette force (le produit de son intensité par son bras de levier) est donc nul. Soit s, le moment cinétiqueMoment cinétique
Produit vectoriel de la distance à un axe par une quantité de mouvement.

Son moment cinétique est alors constant (ce qui implique un mouvement plan)

En coordonnées polaires, on a

Soit dA, une aire élémentaire

(aire d'un triangle). Dérivons par rapport au temps

Mais

donc

(c'est la vitesse aréolaire). La seconde loi de Kepler est ainsi démontrée. En intégrant l'équation précédente, on obtient

En coordonnées polaires,

l'équation de l'orbite est

On pose M, la masse du Soleil, G la constante de gravitation universelle, b le demi petit axe de l'ellipse et

(masse de la particule réduite). L'aire de l'ellipse est alors

D'après le principe fondamentale de la dynamique

Puis la seconde loi de Binet

D'où

En intégrant et en comparant avec l'équation de l'orbite, on obtient

La loi des aires (sur toute l'ellipse) donne

or

En élevant au carré, on a

et enfin

Or, la masse du corps en orbite m (une planète par exemple) est négligeable devant celle du corps principal M (le Soleil dans cet exemple)

d'où

donc, on a enfin la troisième loi de Kepler