Equation d'Einstein

Par la suite, on adoptera la convention dite d'Einstein : lorsqu'un indice se répète, la sommation sur toutes les dimmensions de l'espace est implicite.

La distance infinitésimale entre 2 points de l'espace-tempsEspace-temps
Concept mathématique remplacant l'espace et le temps absolus en relativité. est

Dans cette équation, g est le tenseurTenseur
Matrice invariante par transformations de Lorentz. métrique. Par dérivation, on obtient les symboles de Christoffel

Notons que les courbes géodésiquesGéodésique
Chemin le plus droit entre deux points. vérifient l'équation

De façon générale, le tenseur de courbure (dit tenseur de RiemannRIEMANN, Bernhard
1826 - 1866
Mathématicien allemand. Elabore la théorie des fonctions d'une variable complexe. Il développe la géométrie non-euclidienne.), s'écrit à partir des symboles de Christoffel

Par réduction, on obtient le tenseur de Ricci

Le scalaire de Ricci R est la traceTrace
Somme des éléments diagonaux d'une matrice carrée. du tenseur de Ricci relativement à la métriqueMétrique
Espace mathématique muni d'une distance. utilisée. On peut écrire

Le tenseur énergie-impulsion s'écrit

T₀₀ caractérise la densité volumique d'énergie. Les autres termes de la première ligne sont les flux d'énergie alors que la première colonne représente les densité de moments.

La sous matrice 3x3 restante caractérise les flux de moments. En mécanique des fluides, la diagonale représente la pression (efforts normaux) et les autres termes, la viscosité (efforts tangentiels).

Cette équation lie la géométrie de l'espace-temps à la répartition de matière et d'énergie.

où G est la constante universelle de gravitation et c, la vitesse de la lumière.

On note ici l'apparition d'un paramètre Λ. Il s'agit de la constante cosmologique.

Dans une région vide, le tenseur énergie-impulsion est nul. En résolvant l'équation précédente, on obtient la métrique de MinkowskiMINKOWSKI, Hermann
1864 - 1909
Physicien allemand. Etudie la géométrie des nombres. Il élabore le concept d'espace-temps pour expliquer les équations de Lorentz et d'Einstein.

et on retrouve les résultats de la relativité restreinte.

Autour d'une masse sphérique (comme une étoileEtoile
Boule de gaz en fusion qui émet de la lumière.) et statique, on trouve la métrique de SchwarzschildSCHWARZSCHILD, Karl
1873 - 1916
Astrophysicien allemand. Découvre la pression de radiation. Il calcul le rayon d'un trou noir.

(en coordonnées sphériques)